Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開式中偶數(shù)項二項式系數(shù)和比（a+b）²ⁿ展開式中奇數(shù)項二項式系數(shù)和小120，求：
（1）（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開式中第三項的系數(shù)；   
（2）（a+b）²ⁿ展開式的中間項．

Answer 1

分析：（1）由題意可得2^n-1+120=2^2n-1，求得 n=4．可得（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開式中第三項為 T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2，運算求得結果．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的開式的中間項為T₅=

C

4 8

•a⁴•b⁴，運算求得結果．

解答：解：（1）由題意可得2^n-1+120=2^2n-1，故有 （2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，故2ⁿ=16，解得 n=4．
故（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開式中第三項為 T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2=

2

3

．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的開式的中間項為T₅=

C

4 8

•a⁴•b⁴=70a⁴b⁴．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．