Question

【題目】已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為，．這兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形．若，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示，設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）．根據△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，|PF1|＝10，可得10+2c＝2a1，10﹣2c＝2a2，可得，于是e1+e2＝e2f（e2），e2＞1．利用導數研究其單調性即可得出．

解：如圖所示，

設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）

∵△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，|PF1|＝10，

∴10+2c＝2a1，10﹣2c＝2a2，

相減可得：2c＝a1﹣a2，

∴，

∴，

∴e1+e2＝e2f（e2），e2＞1．

∴f′（e2）＝110，

∴函數f（e2）在e2＞1時單調遞增，

∴f（e2）＞f（1）＝1．

∴e1+e2的取值范圍是．

故答案為：．