Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）若對任意的實數，都有成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，的最大值是，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）；（Ⅲ）或．

【解析】

（Ⅰ）求得解析式后，根據解析式可畫出圖象，利用圖象確定所求單調區間；（Ⅱ）通過分離變量的方式整理為：；根據對號函數的單調性可求得的最小值，從而得到，進而解得范圍；（Ⅲ）得到解析時候，根據二次函數圖象和性質，分別在、、、四種情況下構造關于最值的方程，從而解得結果.

（Ⅰ）由題意得：

令，解得：或

可得函數圖象如下圖所示：

由圖象可知，單調遞增區間為：和

（Ⅱ）對任意的實數，都有成立

得：，即：

，

令

則在上單調遞減，在上單調遞增

即

（Ⅲ）由題意得：

對稱軸為：

①當，即時

，解得：（舍）

②當，即時

，解得：，符合題意

③當，即時

，解得：

④當，即時

，解得：（舍）

綜上可知：或