Question

如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，點D是AB的中點，  （I）求證：AC⊥BC₁；  （II）求證：AC ₁//平面CDB₁；

Answer 1

解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.

答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內的射影為BC，∴ AC⊥BC₁；

（II）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，∵ D是AB的中點，E是BC₁的中點，

∴ DE//AC₁，∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴ AC₁//平面CDB₁；

解法二：∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C₁C兩兩垂直，如圖，以C為坐標原點，直線CA、CB、C₁C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C₁（0,0，4），B（0,4，0），B₁（0,4，4），D（，2,0）

（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC₁.

（2）設CB₁與C₁B的交戰為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC₁.

點評：

轉化

轉化

2．平行問題的轉化：

面面平行線面平行線線平行；

主要依據是有關的定義及判定定理和性質定理．