Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=a，AC=2，AA₁=1，點D在棱B₁C₁上且B₁D：DC₁=1：3
（1）證明：無論a為任何正數，均有BD⊥A₁C；
（2）當a為何值時，二面角B-A₁D-B₁為60°．

Answer 1

分析：（1）由題意建立如圖示的空間直角坐標系，學出各個點的坐標進利用向量的垂直證明了線線的垂直；
（2）利用方程的思想，先設出未知的變量，利用兩個平面的法向量與平面所成的二面角的大小之間的關系建立方程進行求出變量的數值．

解答：解：（1）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A-xyz（如圖），


D(

3

4

a，

1

2

，1)，A₁（0，0，1），B（a，0，0），C（0，2，0），

BD

=(-

a

4

，

1

2

，1)，

A1C

=（0，2，-1），
∵

BD

•

A1C

=(-

a

4

，

1

2

，1)•（0，2，-1）=0，∴

BD

⊥

A1C

，即BD⊥A₁C．
故無論a為任何正數，均有BD⊥A₁C．

（2）

A1D

=(

3

4

a，

1

2

，0)，

A1B

=(a，0，-1)，
設平面A₁BD的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n

⊥

A1D

，

n

⊥

A1B

，
故

n • A1D = 3 4 ax+ 1 2 y=0 n • A1B =ax-z=0

，即

y=- 3 2 ax z=ax

，取

n

=(

1

a

，-

3

2

，1)．
又平面A₁B₁D的一個法向量為

m

=(0，0，1)
∴cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

( 1 a )2+(- 3 2 )2+1

=

1

1 a2 + 13 4

，
結合圖形知?

m

，

n

＞與二面角B-A₁D-B₁相等，即?

m

，

n

＞=60°，
∴

1

1 a2 + 13 4

=

1

2

，
解得a=

2 3

3

，
故當a=

2 3

3

時，二面角B-A₁D-B₁為60°．

點評：此題重點考查了利用空間向量的坐標表示法內容解決線線垂直的證明，還考查了二面角的大小與平面的法向量夾角之間的關系及利用方程的思想求解的方法．