Question

如圖：在直三棱柱ABC-DEF中，AB=2，AC=AD=2

3

，AB⊥AC，
（1）證明：AB⊥DC，
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用直棱柱的性質(zhì)和線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三垂線定理、二面角的定義即可得出．

解答：解：（1）在直三棱柱ABC-DEF中，則AD⊥AB，
又∵AB⊥AC，AD∩AC=A．
∴AB⊥平面ACFD，
∴AB⊥CD．
（2）由（1）可得：四邊形ACFD為正方形，
連接對(duì)角線AF、CD相較于點(diǎn)M，則AM⊥CD．
又∵AB⊥平面ACFD，根據(jù)三垂線定理可得CD⊥BM．
∴∠AMB是二面角A-DC-B的平面角．
∵AM=

1

2

×2

3

×

2

=

6

，∴BM=

AB2+AM2

=

22+( 6 )2

=

10

．．
∴在Rt△ABM中，cos∠AMB=

AM

BM

=

6

10

=

60

10

．
故二面角A-DC-B的余弦值為

60

10

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握棱柱的性質(zhì)和線面垂直的判定和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)、三垂線定理、二面角的定義是解題的關(guān)鍵．