Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=a，E是A₁C₁的中點，F是AB中點．
（1）求證：EF∥面BB₁C₁C；
（2）求直線EF與直線CC₁所成角的正切值；
（3）設二面角E-AB-C的平面角為θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）通過面面平行⇒線面平行；
（2）根據線面垂直關系，判定直線在平面內的射影，證角符合線面角定義，再求角．
（3）可根據三垂線定理作二面角的平面角，再通過解三角形求角．

解答：解：（1）證明：取AC的中點G，連接EG、FG，
∵EG∥CC₁，CC₁?平面EFG，∴CC₁∥平面EFG，
同理：BC∥平面EFG，
又∵BC、CC₁?平面BCC₁B₁，∴平面EFG∥平面BCC₁B₁．
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴EG⊥平面ABC
∵EG∥CC₁，∠FEG為直線EF與CC₁所成的角
△EFG為Rt△，∴tan∠FEG=

FG

EG

=

1 2 a

a

=

1

2

．
（3）取AF的中點H，連接GH、EH，
∵AC=BC，∴CF⊥AB，
又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，
有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH為EH在平面ABC中的射影，
∴∠EHG為二面角E-AB-C的平面角，
又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，HG=

1

2

FC=

2

4

a，EG=CC₁=a，
則tanθ=

EG

HG

=

a

2 4 a

=2

2

．

點評：本題考查線面平行的判定、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角．空間角的求法：1、作角（作平行線或垂線）；2、證角（符合定義）；3、求角（解三角形）．