Question

【題目】已知圓：，一動直線l過與圓相交于.兩點，是中點，l與直線m：相交于.

（1）求證：當l與m垂直時，l必過圓心；

（2）當時，求直線l的方程；

（3）探索是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值；若有關，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 或（3）見解析

【解析】

（1）由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑，根據兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，由直線m的斜率求出直線l的斜率，根據點A和圓心坐標求出直線AC的斜率，得到直線AC的斜率與直線l的斜率相等，所以得到直線l過圓心；

（2）分兩種情況：①當直線l與x軸垂直時，求出直線l的方程；②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的斜率為k，寫出直線l的方程，根據勾股定理求出CM的長，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線l的距離d，讓d等于CM，列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；

（3）根據CM⊥MN，得到等于0，利用平面向量的加法法則化簡等于，也分兩種情況：當直線l與x軸垂直時，求得N的坐標，分別表示出和，求出兩向量的數量積，得到其值為常數；當直線l與x軸不垂直時，設出直線l的方程，與直線m的方程聯立即可求出N的坐標，分別表示出和，求出兩向量的數量積，也得到其值為常數．綜上，得到與直線l的傾斜角無關．

（1）l與m垂直，且，，又，

所以當l與m垂直時，l必過圓心.

（2）①當直線與x軸垂直時, 易知符合題意

②當直線與x軸不垂直時, 設直線的方程為，即，

因為，所以，則由，得

直線：. 從而所求的直線的方程為或

（3）因為CM⊥MN,

①當與x軸垂直時，易得，則,又,

，

②當的斜率存在時，設直線的方程為，

則由，得（ ）,則

=

綜上，與直線l的斜率無關，且.