Question

【題目】已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x2－2x.

(1)求f(x)的解析式，并畫出f(x)的圖象；

(2)設g(x)＝f(x)－k，利用圖象討論：當實數k為何值時，函數g(x)有一個零點？二個零點？三個零點？

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝，函數圖象略．

(2)當k<－1或k>1時，有1個零點；當k＝－1或k＝1時，2個零點；

當－1<k<1時，3個零點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先設x＜0可得﹣x＞0，則f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，由函數f（x）為奇函數可得f（x）=﹣f（﹣x），可求，結合二次函數的圖象可作出f（x）的圖象

（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k，結合函數的圖象可，要求g（x）=f（x）﹣k的零點個數，只要結合函數的圖象，判斷y=f（x）與y=k的交點個數

試題解析：

（Ⅰ）當x≥0時，f（x）=x2﹣2x．

設x＜0可得﹣x＞0，則f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x

∵函數f（x）為奇函數，則f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x

∴函數的圖象如圖所示

（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k

結合函數的圖象可知

①當k＜﹣1或k＞1時，y=k與y=f（x）的圖象有1個交點，即g（x）=f（x）﹣k有1個零點

②當k=﹣1或k=1時，y=k與y=f（x）有2個交點，即g（x）=f（x）﹣k有2個零點

③當﹣1＜k＜1時，y=k與y=f（x）有3個交點，即g（x）=f（x）﹣k有3個零點