已知
．
（1）當
時，求
的最大值；
（2）求證：
恒成立；
（3）求證：
．（參考數據：
）
（1）
的最大值為0；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）設
，求導利用單調性即可得其最大值；.
（2）由（1）得，
，變形即得左邊的不等式：
.右邊不等式顯然不宜直接作差，故考慮作適當的變形.為了證右邊，設
.求導得
.
的符號還不能直接確定.為了確定的符號，再設
，求導得
，所以
即
由此可知
即
，從而原命題得證；（3）首先看看所證不等式與第（2）題有何聯系.對照待證不等式，可將（2）題中的不等式變形為：
.顯然取
，得
.右邊易證如下：
；左邊則應考慮做縮小變形.由于左邊為
，故將
縮為一個等差數列.因為
，所以考慮把縮小為
.
當
時，
，這樣累加，再用等差數列的求和公式即可使問題得證.
試題解析：（1）設
，則
，
所以在區間
內單調遞減，故的最大值為
； （4分）
（2）由（1）得，對
，都有
，即，
因為
，所以. （6分）
設，則
.
設，則，
所以
在區間
內單調遞增，故即.
所以
在區間內單調遞增，故即，
因為，所以
.
從而原命題得證. （9分）
（3）由（2）得，，
令，得.
所以
； （11分）
另一方面，當時，
，
所以
從而命題得證. （14分）
考點：1、導數及其應用；2、不等式的證明.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，半徑為30
的圓形（
為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料
，其中點
在圓弧上，點
在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以
為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設
與矩形材料的邊
的夾角為
，圓柱的體積為
.
（1）求關于的函數關系式？
（2）求圓柱形罐子體積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形
（如圖所示，其中O為圓心，
在半圓上），設
，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．
（1）求V關于θ的函數表達式；
（2）求
的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2＋clnx，且g(x)在點(1，g(1))處的切線方程為2y－1＝0.
(1)求g(x)的解析式；
(2)設函數G(x)＝
若方程G(x)＝a2有且僅有四個解，求實數a的取值范圍．
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.
在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
在
處取得極值，且在點
處的切線斜率為
.
的單調增區間；
的方程
在區間
上恰有兩個不相等的實數根，求實數
的取值范圍.
，
，
. 
，求
的單調遞增區間；
與
軸相切于異于原點的一點，且
，求
的值.
的極值；
若函數
在
上恰有兩個不同零點，求實數
的取值范圍．
（其中
），
，已知它們在
處有相同的切線.
，
的解析式；
上的最小值；
恒成立，求實數
的取值范圍.