Question

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設，木梁的體積為V（單位：m³），表面積為S（單位：m²）．

（1）求V關于θ的函數表達式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

Answer 1

（1），（2），（3）當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大．

解析試題分析：（1）解答實際問題關鍵讀懂題意.本題所求體積為直四棱柱體積，體積為高與底面積的乘積.高為圓木的長，底面積為梯形的面積.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求關系式. （2）先求出函數的導數，再根據導數為零時，定義區間導數值的正負討論其單調性，研究其圖像變化規律，確定其極值、最值.本題函數先增后減，在時，取極大值，也是最大值.（3）本題實質是求表面積的最大值，并判斷取最大值時是否成立.首先先建立表面積的函數關系式.表面積由兩部分組成，一是底面積，二是側面積. 底面積為梯形的面積，有兩個. 側面積為梯形周長與圓木的長的乘積.再利用導數求出其最大值及取最大值時角的取值.
試題解析：（1）梯形的面積
=，． 2分
體積． 3分
（2）．
令，得，或（舍）．∵，∴． 5分
當時，，為增函數；
當時，，為減函數． 7分
∴當時，體積V最大． 8分
（3）木梁的側面積=，．
=，． 10分
設，．∵，
∴當，即時，最大． 12分
又由（2）知時，取得最大值，
所以時，木梁的表面積S最大． 13分
綜上，當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大． 14分
考點：利用導數求函數最值