Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數），設與的交點為，當變化時， 的軌跡為曲線.

（1）寫出的普遍方程及參數方程；

（2）以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，設曲線的極坐標方程為， 為曲線上的動點，求點到的距離的最小值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：先把兩條直線的參數方程化為普通方程，然后利用兩條直線的方程削去參數k，得出點P的軌跡方程，再把橢圓的直角坐標方程改為參數方程；把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，得到直線的方程，利用橢圓的參數方程巧設點Q的坐標，寫出點到直線的距離，利用三角函數求最值.

試題解析：

（Ⅰ）將參數方程轉化為一般方程

，①

，②

①×②消可得： ．

即的軌跡方程為． 的普通方程為．

的參數方程為（為參數）．

（Ⅱ）由曲線： 得： ，

即曲線的直角坐標方程為：

由（Ⅰ）知曲線與直線無公共點，

曲線上的點到直線的距離為

，

所以當時， 的最小值為．