Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令f′（x）≥0，解出即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由（1）可得f′（x）=

2a(x- 1 -2a )(x-1)

x

．由于a＜0．對a分類討論：當(dāng)

1

-2a

≥1即-

1

2

≤a＜0時(shí)，當(dāng)0＜-

1

2a

≤

1

2

即a≤-1時(shí)，當(dāng)

1

2

＜-

1

2a

＜1即-1＜a＜-

1

2

時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分別研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R，x＞0），
可得f′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

．
令f′（x）≥0，由于a＞0，x＞0，∴

2ax+1

x

＞0，∴x-1≥0，解得x≥1．
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞）；
（2）由（1）可得f′（x）=

2a(x- 1 -2a )(x-1)

x

．
由于a＜0．
當(dāng)

1

-2a

≥1即-

1

2

≤a＜0時(shí)，f′（x）≤0，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值，f（1）=a+1-2a-0=1-a．
當(dāng)0＜-

1

2a

≤

1

2

即a≤-1時(shí)，f′（x）≥0，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取得最小值，f(

1

2

)=

1

4

a+

1

2

(1-2a)-ln

1

2a

=

1

2

-

3

4

a+ln2a．
當(dāng)

1

2

＜-

1

2a

＜1即-1＜a＜-

1

2

時(shí)，令f′（x）=0，解得x=-

1

2a

．
當(dāng)

1

2

≤x＜-

1

2a

時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)-

1

2a

＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x=-

1

2a

時(shí)，f（x）取得最小值，f(-

1

2a

)=1-

1

4a

+ln(-2a)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．