Question

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為2，公差為3的等差數列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是首項為2，公比為2的等比數列（其中m≥3，m∈N^*），并對任意的n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）當m=14時，求a₁₀₀₀；
（2）若a₅₂=128，試求m的值．
（3）求滿足條件a_n=128的所有n的值（用m表示）．

Answer 1

考點：數列的應用,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）當m=1時，數列的周期為28，于是a₁₀₀₀=a₂₀，依題意可求得a₁₀₀₀；
（2）設a_m+k是第一個周期中等比數列中的第k項，則a_m+k=2^k，于是128=2⁷，即m≥7，則一個周期中至少有14項，a₅₂最多是第三個周期中的項．對a₅₂是第一個周期中的項、第二個周期中的項、第三個周期中的項，分別討論計算即可求得m的值；
（3）由a_n=3n-1=128，得n=43，由a_m+n=128，n=7，分類討論，即可求滿足條件a_n=128的所有n的值

解答： 解：由題設得：a_n=3n-1，（1≤n≤m），a_m+n=2ⁿ（1≤n≤m），------------（2分）
（1）m=14時，數列的周期為28．
∵1000=28×35+20，而a₂₀是等比數列中的項，
∴a₁₀₀₀=a₂₀=a₁₄₊₆=2⁶=64．--------------------------------------------------（4分）
（2）顯然，a₅₂=128不是數列{a_n}中等差數列的項．
設a_m+k是第一個周期中等比數列中的第k項，則a_m+k=2^k．
∵128=2⁷，∴等比數列中至少有7項，即m≥7，則一個周期中至少有14項．
∴a₅₂最多是第三個周期中的項．
若a₅₂是第一個周期中的項，則a₅₂=a_m+7=128．
∴m=52-7=45；---------------（6分）
若a₅₂是第二個周期中的項，則a₅₂=a_3m+7=128．∴3m=45，m=15；---------------（8分）
若a₅₂是第三個周期中的項，則a₅₂=a_5m+7=128．∴5m=45，m=9；
綜上，m=45，或15，或9．----------------------（10分）
（3）由a_n=3n-1=128，得n=43，由a_m+n=128，n=7．
當1≤m≤6時，不存在n使a_n=128，-------------------------（12分）
當7≤m≤42時，數列中成等差數列的項中不存在128的項，等比數列中，a_m+7=128．
∴滿足條件的n=（2k+1）m+7，k∈N．------------------------------（14分）
當m≥43時，第一周期中，a₄₃=128，a_m+7=128，
∴滿足條件的n=43+2km，或n=（2k+1）m+7，k∈N．------------（16分）

點評：本題考查數列的求和，著重考查數列的函數特性，考查其周期性、單調性與最值，突出分類討論思想與等價轉化思想的綜合應用，屬于難題．