Question

【題目】已知函數，其中是的導函數.

若.

（1）求的表達式；

（2）求證：，其中n∈N*.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據已知條件猜想，利用數學歸納法證得猜想成立.

（2）利用放縮法，結合裂項求和法，證得不等式成立.

（1）由題意可知，，

由已知

，，

猜想，下面用數學歸納法證明：

（i）當 n=1 時，，結論成立：

假設 n=k（k≥1，k∈N*） 時結論成立，即，

那么，當n=k+1（k≥1，k∈N*）時，

，即結論成立.

由（i）（ii）可知，結論對 n∈N* 成立.

（2）∵，

∴，

∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）

，

∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）.