Question

設函數(shù)f（x）=ax²-ax-lnx．
（1）若a=1，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若當x≥1時恒有f（x）≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過求函數(shù)導數(shù)，然后判斷f′（x）的符號即可．
（2）因為1=f（0），條件變成當x≥1時恒有f（x）≥f（1），所以要考慮用函數(shù)的單調性來找a的取值范圍，所以先求f′（x）=2ax-a-

1

x

=

2ax2-ax-1

x

，為了判斷f′（x）的符號，令g（x）=2ax²-ax-1，下面討論a判斷函數(shù)g（x）的符號即可．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=x²-x-lnx，（x＞0）；
∴f′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

；
∴x∈（-∞，-

1

2

）時，f′（x）＞0；x∈（-

1

2

，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0．
∴（-∞，-

1

2

]，（1，+∞）是函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；(-

1

2

，1]是單調遞減區(qū)間．
（2）f′（x）=2ax-a-

1

x

=

2ax2-ax-1

x

；
令g（x）=2ax²-ax-1=a（2x²-x）-1；
①當a＞0時，g′（x）=4ax-a=a（4x-1）＞0；
∴g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴g（x）_min=g（1）=a-1．
當a≥1時，g（x）_min≥0；
∴f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調遞增；
∴f（x）≥f（1）=0；
∴a≥1滿足題意．
當0＜a＜1時，g（x）_min＜0，∴函數(shù)g（x）有唯一的零點，設為x₀，則：
x∈（1，x₀），g（x）＜0，∴f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（1，x₀）上單調遞減；
∴f（x）＜f（1）=0，∴0＜a＜1不合題意．
②當a≤0時，g（x）＜0，∴f′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）∴在（1，+∞）上單調遞減．
∴f（x）＜f（1）=0，∴a≤0不合題意．
綜上可知：a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：第一問是用導數(shù)尋找函數(shù)的單調區(qū)間，第二問也是用導數(shù)判斷單調性的問題，而比較關鍵的一步是設函數(shù)g（x），判斷g（x）的單調性，判斷g（x）的符號，從而判斷f′（x）的符號，判斷函數(shù)f（x）的單調性．