Question

【題目】已知直線l1：y=kx﹣1與雙曲線x2﹣y2=1的左支交于A，B兩點．
（1）求斜率k的取值范圍；
（2）若直線l2經過點P（﹣2，0）及線段AB的中點Q且l2在y軸上截距為﹣16，求直線l1的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，

∵直線l1與雙曲線左支交于A，B兩點，

∴

解得：

（2）解：由已知得直線l2的方程為：8x+y+16=0，設Q（x0，y0），

則 ，

∵Q在直線l2，∴ ，化簡得：16k2+8k﹣15=0，

分解因式得：（4k+5）（4k﹣3）=0，

∴ ，

又∵ ，∴ ，

∴直線l1的方程為：

【解析】（1）直線方程與雙曲線方程聯立得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由直線l1與雙曲線左支交于A，B兩點，可得 ，解出即可得出．（2）由已知得直線l2的方程為：8x+y+16=0，設Q（x0 ， y0），利用中點坐標公式與根與系數的關系可得Q坐標，代入直線l2的方程解出即可得出．