Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y=x（x≥0）交于點Q，與x軸交于點M．記∠MOP=α，且α∈（﹣， ）．

（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；

（Ⅱ）求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由角的正弦值可得其余弦值，再用角表示，可由兩角差的余弦公式可得角的余值；（Ⅱ）由三角函數的定義可得點的坐標，再利用的正余弦值表示三角形的面積，利用三角函數的性質可得其最值，即為三角形面積的最大值．

試題解析：（Ⅰ）因為，且所以．

所以.

（Ⅱ）由三角函數定義，得P（cosα，sinα），從而，

所以

．

因為所以當時，取等號，

所以△OPQ面積的最大值為．