Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C：與直線l：交于M，N兩點．

當時，求的面積的取值范圍；

軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有？若存在，求以線段OP為直徑的圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）聯立直線的方程和拋物線的方程，寫出韋達定理，利用弦長公式求得，用點到直線的距離公式求得到直線的距離，由此可求得三角形面積的表達式.再利用的取值范圍求得面積的取值范圍.（2）設出點的坐標，寫出直線的斜率，然后相加，利用（1）的韋達定理條件化簡，并令斜率和為零，由此求得點的坐標，進而求得以為直徑的圓的方程.

（1）將代入，得，

設，，則，，

從而.

因為到的距離為，

所以的面積.

因為，所以.

（2）存在符合題意的點，證明如下：

設為符合題意的點，直線，的斜率分別為，.

從而

.

當時，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補，

故，所以點符合題意.

故以線段為直徑的圓的方程為.