Question

【題目】已知三棱錐P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DEAP于E。（1）求證：AP平面BDE；（2）求證：平面BDE平面BDF；（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P—ABC所成上、下兩部分的體積比。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1：2.

【解析】試題分析：

(1)由題意可證得由已知，結合線面垂直的判斷定理可得AP平面BDE；

(2)結合(1)的結論由二面角的平面角為90°即可證得面面垂直；

(3)由空間幾何體的特征可得截面BEF分三棱錐P—ABC所成上、下兩部分的體積比為1：2.

試題解析：

（1）證明：平面ABC， ，由AB=BC，D為AC的中點，得又又由已知

（2）（方法一）由由D、F分別為AC、PC的中點，得DF//AP， 由已知： 又

（方法二）由（1）

為二面角E—BD—F的平面角

由D、F分別為AC、PC的中點，得DF//AP由已知：

（3）設點E和點A到平面PBC的距離分別為則

故截面BEF分三棱錐P—ABC所成上、下兩部分體積的比為1：2。