Question

（本小題滿分14分）
給定橢圓：. 稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”. 若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.
（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由.

Answer 1

解：（1），
橢圓方程為，                       ………… 4分
準圓方程為.            ……………………5分
（2）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，
因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為，
當方程為時，此時與準圓交于點，
此時經過點（或）且與橢圓只有一個公共點的直線是（或），即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線也垂直.  ………………8分
②當都有斜率時，設點，其中.
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，
則由消去，得
.      ………10分
由化簡整理得：. 
因為，所以有 . …11分
設的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點，
所以滿足上述方程，
所以，即垂直.                 …………………13分
綜合①②知垂直.                        ……………………14分

略