Question

已知數列{a_n}是遞增的等比數列，滿足a₁=4，且

5

4

a3是a2、a4的等差中項，數列{b_n}滿足b_n+1=b_n+1，其前n項和為s_n，且S₂+S₆=a₄
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式
（2）數列{a_n}的前n項和為T_n，若不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n對一切n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用

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a3是a2、a4的等差中項，求出公比，可求數列{a_n}的通項公式；數列{b_n}為等差數列，公差d=1，可求數列{b_n}的通項公式；
（2）不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n化為n²-n+7≥λ（n+1），可得λ≤

n2-n+7

n+1

對一切n∈N^*恒成立，利用不等式，即可得出結論．

解答： 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，則q＞1，an=4qn-1
∵

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4

a3是a₂和a₄的等差中項，
∴2×

5

4

a3=a2+a4即2q2-5q+2=0，
∵q＞1，∴q=2，∴an=4•2n-1=2n+1
依題意，數列{b_n}為等差數列，公差d=1
又s2+s6=32∴(2b1+1)+6b1+

6×5

2

=32，
∴b₁=2，∴b_n=n+1…（6分）
（2）∵an=2n+1∴Tn=

4(2n-1)

2-1

=2n+2-4．
不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n化為n²-n+7≥λ（n+1）
∵n∈N^*…（9分）
∴λ≤

n2-n+7

n+1

對一切n∈N^*恒成立．
而

n2-n+7

n+1

=

(n+1)2-3(n+1)+9

n+1

=(n+1)+(

9

n+1

)-3≥2

(n+1)• 9 (n+1)

-3=3
當且僅當n+1=

9

n+1

，
即n=2時等式成立，
∴λ≤3…（12分）

點評：本題考查數列的通項于求和，著重考查等比數列的通項公式的應用，突出考查基本不等式的運用，考查運算、分析、求解的能力，屬于中檔題．