Question

【題目】已知數列的前項和為且滿足，數列中，對任意正整數

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在實數，使得數列是等比數列？若存在，請求出實數及公比的值，若不存在，請說明理由；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）見解析

【解析】試題分析：

(1)由通項公式與前n項和的關系可得數列的通項公式為；

(2)假設存在滿足題意的實數 ，利用等比數列的定義得到關于 的方程，解方程可得；

(3)求得數列的前n項和，分類討論n的奇偶性即可證得題中不等式的結論.

試題解析：

(1)當時， ，

當時， ，

即，

也適合，所以.

(2)法一：

假設存在實數，使數列是等比數列，且公比為.

因為對任意正整數,，

可令n=2,3,得 .

因為是等比數列，所以

， 解得

從而 （）

所以存在實數，公比為.

法二：

因為對任意整數,， 所以，

設 ，則，

所以存在，且公比.

(3)因為，所以 ，

所以，即，

于是

當是奇數時: ，關于遞增，

得 .

當是偶數時: ,關于遞增,

得 .

綜上， .