Question

【題目】設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（2）=0，當x＞0時，有xf'（x）+f（x）＜0恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集是（ ）
A.（﹣2，0）∪（2，+∞）
B.（﹣2，2）
C.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D.（﹣2，0）∪（0，2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），
∴g（x）在R是偶函數，
∴g（x）在（﹣∞，0）遞增，
而f（2）=0，故g（2）=g（﹣2）=0，
∴不等式xf（x）＞0，
∴g（x）＜g（2），∴|x|＜2，
解得：﹣2＜x＜2，
而x=0時，g（x）=0，
故不等式的解集是（﹣2，0）∪（0，2），
故選：D．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．