Question

【題目】如圖所示，三棱錐放置在以為直徑的半圓面上，為圓心，為圓弧上的一點，為線段上的一點，且，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當二面角的平面角為時，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）通過勾股定理，證明，得到平面，再證明平面，得到平面平面.

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，設，表示出面的一個法向量和面的一個法向量，然后將二面角轉化為兩個法向量之間的夾角，利用向量的夾角公式，求出，從而得到的值.

解：（Ⅰ）證明：由，

，

∴，

又且，

∴平面.

∵平面，

∴，

由，圓心為中點，所以.

因，故平面，

又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，且，過點作的平行線，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意知，，，，

設，

則， ，

設為平面的一個法向量，

則，

令，則，所以，

取平面的一個法向量為.

因為二面角的平面角為，

所以，

解得或（舍去），

所以當二面角的平面角為時，.

，