Question

（2013•徐州三模）已知一塊半徑為r的殘缺的半圓形材料ABC，O為半圓的圓心，OC=

1

2

r，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側．現要在這塊材料上截出一個直角三角形，有兩種設計方案：如圖甲，以BC為斜邊；如圖乙，直角頂點E在線段OC上，且另一個頂點D在

AB

上．要使截出的直角三角形的面積最大，應該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．

Answer 1

分析：在圖形甲中，BC的長度為

3r

2

，設出∠DBC=α，把BD和DC都用r和角α表示，利用三角函數求直角三角形BDC面積的最大值；在圖形乙中，設出∠DOE=θ，利用平面幾何知識得到角θ的范圍，把DE和BE用r和θ表示，寫出三角形BED的面積后，利用導數分析單調性，由單調性求最值，最后比較兩種情況下面積最大值的大小．

解答：解：如圖甲，

設∠DBC=α（0＜α＜

π

2

），
則BD=

3r

2

cosα，DC=

3r

2

sinα，
所以S△BDC=

1

2

BD•DC=

1

2

•

3r

2

cosα•

3r

2

sinα
=

9

16

r2sin2α≤

9

16

r2，
當且僅當α=

π

4

時取等號，
此時點D到BC的距離為

3

4

r，可以保證點D在半圓形材料ABC內部，
因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為

9

16

r2．   
如圖乙，

設∠EOD=θ，則OE=rcosθ，DE=rsinθ，
所以S△BDE=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，θ∈[

π

3

，

π

2

]．
設f(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，則f′(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)(2cosθ-1)，
當θ∈[

π

3

，

π

2

]時，f'（θ）≤0，所以θ=

π

3

時，即點E與點C重合時，△BDE的面積最大值為

3 3

8

r2． 
因為

3 3

8

r2＞

9

16

r2，
所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為

3 3

8

r2．

點評：本題考查了導數在最大值和最小值中的應用，考查了利用三角函數求幾何圖形的面積，解答此題的關鍵是把三角形的面積用變量角表示，圖形乙中對角的范圍的分析不可忽視，此題屬中檔題．