Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，.

（1）求a的值

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，說明理由；

（3）若任意，不等式總成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）單調(diào)遞增；見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)奇偶性可得定義域關(guān)于原點對稱,再求出函數(shù)的定義域求解,

（2）設(shè)任意,且,利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性即可.

(3) 由題意知,時恒成立,再根據(jù)單調(diào)性求的最小值即可.

（1）∵是奇函數(shù),∴定義域關(guān)于原點對稱,

由,得.

令,得,,∴,解得.

(2) 函數(shù)在上的單調(diào)遞增.

令,設(shè)任意,且,

則,

∵,∴,,,

∴,即.

所以對任意,且

由函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，則

所以，即

∴在上為增函數(shù).

（3）由題意知,時恒成立,

令,,由（1）知在上為增函數(shù),

又在上也是增函數(shù),故在上為增函數(shù),

∴的最小值為,

∴,故實數(shù)的范圍是.