Question

在△ABC中，A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足3a²+3b²=c²+4ab，現設f（x）=tanx，則（　　）

• A、f（sinA）≤f（cosB）
• B、f（sinA）≥f（cosB）
• C、f（sinA）≤f（sinB）
• D、f（cosA）≤f（cosB）

Answer 1

考點：余弦定理,正切函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：由已知條件和余弦定理可得得2-cosC=

a2+b2

ab

，由基本不等式可得cosC≤0，進而可得A，B均為銳角，且0＜A+B≤

π

2

，由正弦函數和正切函數的單調性及誘導公式可得結論．

解答： 解：∵3a²+3b²=c²+4ab，∴c²=3a²+3b²-4ab，
又由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴3a²+3b²-4ab=a²+b²-2abcosC，
化簡可得2-cosC=

a2+b2

ab

，
由基本不等式可得

a2+b2

ab

≥

2ab

ab

=2，當且僅當a=b時取等號，
∴2-cosC≥2，∴cosC≤0，∴C為鈍角或直角，
∴A，B均為銳角，且0＜A+B≤

π

2

，
∴A≤

π

2

-B，∴sinA≤sin（

π

2

-B）=cosB，
∵正切函數y=tanx在（-

π

2

，

π

2

）單調遞增，
∴tan（sinA）≤tan（cosB），即f（sinA）≤f（cosB），
故選：A

點評：本題考查余弦定理，涉及基本不等式和正切函數的單調性，屬中檔題．