Question

某批發市場對某種商品的日銷售量（單位：噸）進行統計，最近50天的統計結果如下表：

日銷售量（噸）	1	1.5	2
天  數	10	25	15

若用樣本估計總計，以上表頻率為概率，且每天的銷售量相互獨立：
（1）求5天中該種商品恰好有2天的日銷售量為1.5噸的概率；
（2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，ξ表示該種商品兩天銷售利潤的和（單位：千元），求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）銷售量1.5噸的頻率為0.5，依題意，隨機選取一天，銷售量為1.5噸的概率P=0.5，設5天中該種商品有X天的銷售量為1.5噸，則X～B（5，0.5），5天中該種商品恰好有2天的日銷售量為1.5噸的概率．
（2）ξ的可能取值4，5，6，7，8，分別求出P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），P（ξ=7），P（ξ=8），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）銷售量1.5噸的頻率為0.5，
依題意，隨機選取一天，銷售量為1.5噸的概率P=0.5，
設5天中該種商品有X天的銷售量為1.5噸，
則X～B（5，0.5），
P(X=2)=

C

2 5

0.52(1-0.5)3=0.3125…（6分）
故5天中該種商品恰好有2天的日銷售量為1.5噸的概率為0.3125．
（2）ξ的可能取值4，5，6，7，8，
P（ξ=4）=0.2²=0.04，
P（ξ=5）=2*0.2*0.5=0.2，
P（ξ=6）=0.5²+2*0.2*0.3=0.37，
P（ξ=7）=2×0.5×0.3=0.3，
P（ξ=8）=0.3²=0.09．
∴ξ的分布列為

ξ	4	5	6	7	8
P	0.04	0.2	0.37	0.3	0.09

∴Eξ=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2（千元）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．