Question

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）討論的極值；

（2）當且時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，無極值；當時，的極大值為，無極小值.（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得到，令，得，討論，兩種情況，計算得到答案.

（2）證明得到，記，根據單調性得到，故，得到證明.

（1），令，得.

當，即時，在內恒成立，

故在內單調遞減，無極值.

當，即時，由，得，

由，得，

∴在內單調遞增，在內單調遞減，

∴在處取得極大值，且極大值為.

綜上所述，當時，無極值.

當時，的極大值為，無極小值.

（2）設，則，

當時，，單調遞增，故，即，

∴，∴，

記，則，

當時，；當時，，

故在內單調遞減，在內單調遞增，從而，

∴.①

由（1）知，當且時，，

∴，②

由①②可知，.