Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）構造新函數，利用導數研究新函數的單調性，根據新函數的最值即可證得結論；

（2）對函數求導，分情況求的取值范圍.

（1）當時，.

所以.

設，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以.

（2）因為，

所以，在上，

①當，，若，則，若，則，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以由題意得，解得，

所以.

②當時，，若，則，若，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以由題意得，解得，所以.

③當時，

（i）當時，，若，則，若，則，若，則，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以由題意得所以所以；

（ii）當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，

所以，所以滿足題意；

（iii）當時，，

易得函數在，上單調遞增，在上單調遞減，

所以由題意得所以所以.

綜上，實數的取值范圍為.