Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知易證DE⊥AF，且△ACD為正三角形，又證得AF⊥CD，進而可得AF⊥平面CDE
（Ⅱ）取DE中點M，連接AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形，AM∥BE，則∠CAM（或其補角）為AC與BE所成的角，在△ACM中解即可．
（Ⅲ）延長DA、EB交于點G，連接CG，面ACD和面BCE所成二面角的平面角即為∠DCE，易解得為45°．

解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD=CD，F為CD中點，
∴AF⊥CD，
又CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．

（2）

DE⊥平面ACD AB⊥平面ACD

⇒DE∥AB．
取DE中點M，連接AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形，
AM∥BE，則∠CAM（或其補角）為AC與BE所成的角
在△ACM中，AC=2a，AM=

AD2+DM2

=

4a2+a2

=

5

a，CM=

CD2+DM2

=

4a2+a2

=

5

a．
由余弦定理得：cos∠CAM=

(2a)2+( 5 a)2-( 5 a)2

2×2a× 5 a

=

5

5

∴異面直線AC、AE所成的角的余弦值為

5

5

                      
（Ⅲ）延長DA、EB交于點G，連接CG．
因為AB∥DE，AB=

1

2

DE，所以A為GD中點                      
又因為F為CD中點，所以CG∥AF
因為AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE                        
故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角．
易求∠DCE=45°

點評：本題考查線面位置關系的判定與證明，線線角、二面角的大小求解．考查空間想象、轉化、計算能力．對于“無棱的”二面角可通過延展半平面，找到棱，使問題便于解決．