Question

【題目】已知函數f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，a∈R.

(1)當a＝1時，求函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程．

(2)是否存在實數a，對任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)函數f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝ (x>0)．當a＝1時，f′(x)＝，f′(1)＝－2，則所求的切線方程為y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0.

(2)假設存在這樣的實數a滿足條件，不妨設0<x1<x2.

由>a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，

令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln x－2x，則函數g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

則g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，則a≤－.

故存在這樣的實數a滿足題意，其取值范圍為.