Question

【題目】已知矩形的長，寬，將其沿對角線折起，得到四面體，

如圖所示，給出下列結論：

①四面體體積的最大值為；

②四面體外接球的表面積恒為定值；

③若分別為棱的中點，則恒有且；

④當二面角為直二面角時，直線所成角的余弦值為；

⑤當二面角的大小為時，棱的長為．

其中正確的結論有____________________(請寫出所有正確結論的序號)

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

對于①四面體體積最大為兩個面互相垂直，四面體體積的最大值為，故不正確；②三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，②正確；③若為分別棱的中點，連接，則，根據等腰三角形三線合一得到，連接，容易判斷，得到，所以，所以③正確；④二面角為直二面角時，以為原點所在直線分別為軸，則由向量的數量積可以得到直線所成角的余弦值為，所以④正確；

⑤當二面角的大小為時，棱的長為，在直角三角形中，

，作，則，同理直角三角形中，則，在平面內，過作，且，連接，易得四邊形為矩形，則，又，即有為二面角的平面角，且為，即，由平面，得到，即有，則，故⑤錯誤，故答案為②③④.