Question

【題目】已知橢圓：的焦距為8，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形。

（1）求的方程；

（2）設為的左焦點，為直線上任意一點，過點作的垂線交于兩點,.

（i）證明：平分線段（其中為坐標原點）；

（ii）當取最小值時，求點的坐標。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知，根據橢圓的焦距為8，其短軸的兩個端點與長軸的個端點構成正三角形，求得的值，即可求得橢圓的方程；

（2）（ⅰ）設點的坐標為，驗證當時，平分顯然成立；當由直線的方程和橢圓的方程聯立方程組，求解中點的坐標，即可得到結論；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，求得和，得到，利用基本不等式，即可求解.

（1）由已知，得. 因為，易解得.

所以，所求橢圓的標準方程為

（2）設點的坐標為

當時，與軸垂直為的中點平分顯然成立

當由已知可得：

則直線的方程為：

設

消去得：

，

中點的坐標為

又在直線上.

綜上平分線段

當時，則

當時，由可知

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(當且僅當，即時等號成立)，

∴點的坐標為