【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的離心率為
，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(
－1)．
(1) 求橢圓C的標準方程；
(2) 已知過點M(0，－1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．
【答案】(1)
＋
＝1；(2)過定點，理由見解析．
【解析】
(1) 橢圓上動點P(x0，y0)到左、右焦點的距離的最小值為a－c，結合離心率可求得
，從而可得
，得橢圓標準方程；
(2) 先根據直徑AB豎直和水平兩種情況，猜出定點可能為D(0，3)，再考慮
是否為零．
(1) 由題意，得
解得
所以b2＝a2－c2＝9.
橢圓C的標準方程是＋＝1.
(2) 當直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝9；
當直線l的斜率為零時，以AB為直徑的圓的方程為x2＋(y＋1)2＝16.
這兩圓僅有唯一公共點，也是橢圓的上頂點D(0，3)．猜想以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)．
證明如下：
(向量法) 設直線l的方程為y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．只要證＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝0即可．
即要證＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝0.
由
消去y，得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，
Δ＝16k2＋64(1＋2k2)>0，此方程總有兩個不等實根x1，x2.
所以x1＋x2＝
，x1x2＝
.
所以＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝
－
＋16＝0.
所以DA⊥DB，所以，以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)．
口算心算速算應用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角三棱柱
中，
、
分別為
、
的中點，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求證：平面
平面
；
（3）若直線
和平面
所成角的正弦值等于
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】電視臺播放甲、乙兩套連續劇,每次播放連續劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續劇時,連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：
連續劇 | 連續劇播放時長/min | 廣告播放時長/min | 收視人次/萬人 |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
電視臺每周安排的甲、乙連續劇的總播放時長不多于
,廣告的總播放時長不少于
,且甲連續劇播放的次數不多于乙連續劇播放次數的2倍,分別用
,
表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續劇的次數,要使總收視人次最多,則電視臺每周播出甲、乙兩套連續劇的次數分別為（ ）
A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對函數
（其中
為實數，
），給出下列命題；
①當
時，
在定義域上為單調遞減函數；②對任意
，都不是奇函數；③當時，為偶函數；④關于
的方程
最多有一個實數根，其中正確命題的序號為________，（把所有正確的命題序號寫入橫線）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某醫藥研究所開發的一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．
(1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數關系式y＝f(t)；
(2)據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．求服藥一次后治療有效的時間是多長？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的焦距為8，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形。
（1）求的方程；
（2）設
為的左焦點，
為直線
上任意一點，過點作
的垂線交于兩點
,
.
（i）證明：
平分線段
（其中
為坐標原點）；
（ii）當
取最小值時，求點的坐標。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
為參數），以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，曲線，的公共點為
.
（Ⅰ）求直線
的斜率；
（Ⅱ）若點
分別為曲線，上的動點，當
取最大值時，求四邊形
的面積.
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