Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點F為拋物線的焦點，點M為和在第一象限的交點，且．

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）若，過焦點F的直線l與相交于A，B兩點，已知，求取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設點，過M作的準線的垂線，垂足為N，拋物線的準線與軸的交點為，根據焦半徑公式可知，再根據橢圓定義可知，結合直角和勾股定理，得，所以點，代入拋物線方程得，建立方程求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件得到拋物線，設直線l的方程為，與拋物線方程聯立，得到根與系數的關系，，再代入的坐標表示，得到，利用二次函數求最值，并得到直線方程.

（Ⅰ）設拋物線的標準方程為，

橢圓的方程為，半焦距為c．

由已知得點，則．

設點，過M作的準線的垂線，垂足為N，拋物線的準線與軸的交點為，

由拋物線的定義，得，則．

根據橢圓定義，得，，

又因為，所以．

所以點，代入拋物線方程得，

從而，解得或．

拋物線的標準方程為或．

（Ⅱ）拋物線和的焦點坐標分別為和這時或，

滿足的只有拋物線，

設點，，

由題意知直線l的斜率不等于0，且過點，所以設直線l的方程為，

由，得，

恒成立，

由韋達定理得，，

，

當時，取最大值為，

此時直線l的方程為．