Question

【題目】已知拋物線過點，拋物線在處的切線交軸于點，過點作直線與拋物線交于不同的兩點、，直線、、分別與拋物線的準線交于點、、，其中為坐標原點．

（Ⅰ）求拋物線的方程及其準線方程，并求出點的坐標；

（Ⅱ）求證：為線段的中點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的方程為，準線方程為，；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，并可求出拋物線的準線方程，求出切線的方程，進而可求得點的坐標；

（Ⅱ）設直線的方程為，與拋物線的交點為、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，求出點的坐標，并求出點、的坐標，進而求出線段的中點坐標，由此可證得結論成立.

（Ⅰ）由拋物線過點，得，

所以拋物線的方程為，準線方程為．

設切線的方程為，

由，得，

則，

從而的方程為，得；

（Ⅱ）設直線的方程為，與拋物線的交點為、．

由，得，則，．

因為點的坐標為，所以點的坐標為，

直線的方程為，結合，從而直線，

可得點的坐標為，同理點的坐標為．

因為，

故為線段的中點．