Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，點M為PC的中點.

（1）求證：PA∥平面MDB；

（2）求三棱錐A﹣BDM的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連結AC，交BD于O，連結OM，推導出OM∥PA，由此能證明PA∥平面MDB.

（2）三棱錐A﹣BDM的體積VA﹣BDM＝VM﹣ABD，由此能求出結果.

（1）證明：連結AC，交BD于O，連結OM，如圖：

∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中點，

∵點M為PC的中點.∴OM∥PA，

∵平面BDM，平面BDM，

∴PA∥平面MDB.

（2）取AD中點N，連結PN，

∵四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，

△PAD是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，點M為PC的中點，

∴PN⊥平面ABCD，PN，

M到平面ABD的距離d，

S△ABD，

∴三棱錐A﹣BDM的體積為：VA﹣BDM＝VM﹣ABD.