Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若過(guò)點(diǎn)A（2，m）可作曲線y=f（x）的2條切線，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3，求導(dǎo)可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=-3，解方程組即可求得，a，b，c的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）設(shè)切點(diǎn)，求切線方程，得到m=-2x₀³+6x₀²-6，要求過(guò)點(diǎn)A（2，m）可作曲線y=f（x）的2條切線，即求m=-2x₀³+6x₀²-6有兩個(gè)零點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的草圖，即可求得實(shí)數(shù)m的取值．

解答： 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c
依題意

f′(1)=3a+2b+c=0 f′(-1)=3a-2b+c=0

 ①
又f'（0）=-3，
∴c=-3，
代入①解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀³-3x₀），
∵f'（x）=3x²-3，
∴f'（x₀）=3x₀²-3，
∴切線方程為y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）．
又切線過(guò)點(diǎn)A（2，m），
∴m-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（2-x₀），
∴m=-2x₀³+6x₀²-6．
令g（x）=-2x³+6x²-6，
則g'（x）=-6x²+12x=-6x（x-2），
由g'（x）=0，得x=0或x=2，
∴g（x）_極小值=g（0）=-6，g（x）_極大值=g（2）=2
畫(huà)出草圖知，當(dāng)m=-6或m=2時(shí)，m=-2x³+6x²-6有兩解，
即過(guò)點(diǎn)A（2，m）可作曲線y=f（x）的2條切線，
∴實(shí)數(shù)m的取值是-6或2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，是中高檔題．