Question

在某文藝會場中央有一塊邊長為a米（a為常數）的正方形地面全彩LED顯示屏如圖所示，點E，F分別為BC，CD邊上異于點C的動點．現在頂點A處有視角∠EAF=45°的攝像機，正錄制移動區域△ECF內表演的某個文藝節目．設DF=x米，BE=y米．
（1）試將y表示為x的函數； 
（2）求△ECF面積S的最大值．

Answer 1

考點：解三角形

專題：解三角形

分析：（1）由題意利用tan（∠EAD+∠EAB）=1，即可將y表示為x的函數，注明定義域； 
（2）利用CE=a-y，CF=a-x，表示出△ECF面積S，然后求解面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意得tan∠EAD=

x

a

，tan∠EAB=

y

a

，
因為∠EAF=45°，所以∠FAD+∠EAB=45°，…（2分）
所以tan(∠EAD+∠EAB)=

tan∠EAD+tan∠EAB

1-tan∠EADtan∠EAB

=1，即

x a + y a

1- xy a2

=1，…（5分）
所以y=

a2-ax

x+a

，其中0＜x＜a．…（7分）
（2）由CE=a-y，CF=a-x，
知△ECF的面積S=

1

2

CE•CF=

1

2

（a-y）（a-x）=

1

2

(a-

a2-ax

x+a

)(a-x)
=

ax(a-x)

x+a

，0＜x＜a，…（9分）
設x+a=t，則x=t-a，其中0＜t＜2a，所以S=

2a(t-a)(2a-t)

t

=2a

-t2+3at-2a2

t

=2a[3a-(t+

2a2

t

)]≤2a(3a-2

2a2

)=(6-4

2

)a2，…（14分）
當且僅當t=

2

a，即x=(

2

-1)a時取等號，…（15分）
故△ECF面積S的最大值為(6-4

2

)a2．…（16分）

點評：本題考查解三角形的知識，三角形的面積的求法以及面積的最值的解法，考查轉化思想以及計算能力．