Question

已知

a

=（2sin

x

2

，1），

b

=（cos

x

2

-

3

sin

x

2

，1），f（x）=

a

•

b

+m．
（1）求f（x）在[0，2π]上的單調區間；
（2）當x∈[0，2π]時，f（x）的最小值為2，求f（x）≥2成立的x的取值集合；
（3）若存在實數a，b，c，使得a[f（x）-m]+b[f（x-c）-m]=1，對任意x∈R恒成立，求

b

acosC

的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,函數恒成立問題,平面向量數量積的運算,三角函數的最值

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）通過向量的數量積以及兩角和與差的三角函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過正弦函數的單調區間求f（x）在[0，2π]上的單調區間；
（2）根據x∈[0，

π

2

]，求得sin（x+

π

3

）min=

1

2

，可得f（x）_min=2+m=2，由此求得m的值．再由f（x）≥2，可得2sin（x+

π

3

）+1≥2sin（x+

π

3

）≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

，由此求得x的集合．
（3）由題意可得對任意x∈R，（2a+2bcosc）sin（x+

π

3

）-2bsinccos（x+

π

3

）+b+a-1=0 恒成立，故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．由此求得

b

acosC

的值

解答： 解：（1）

a

=（2sin

x

2

，1），

b

=（cos

x

2

-

3

sin

x

2

，1），
∴f（x）=

a

•

b

+m=sinx-2

3

sin2

x

2

+1+m
=sinx+

3

cosx+1-

3

+m
=2sin（x+

π

3

）+1-

3

+m
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，
f（x）在[0，2π]上的單調增區間：[0，

π

6

]，[

7π

6

，2π]．
f（x）在[0，2π]上的單減調區間：[

7

6

，

7π

6

]；
（2）由于x∈[0，

π

2

]，x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，故sin（x+

π

3

）min=

1

2

，所以f（x）_min=2+m=2，∴m=0．所以，f（x）=2sin（x+

π

3

）+1，由f（x）≥2，可得2sin（x+

π

3

）+1≥2sin（x+

π

3

）≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

，
∴{x|2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

π

2

 k∈z}．
（3）∵a[f（x）-m]+b[f（x-C）-m]=a[2sin（x+

π

3

）+1]+b[2sin（x+

π

3

-C）+1]
=2asin（x+

π

3

）+a+2bsin（x+

π

3

）cosC-2bsinCcos（x+

π

3

）+b，
對任意x∈R，（2a+2bcosc）sin（x+

π

3

）-2bsinccos（x+

π

3

）+b+a-1=0 恒成立，
故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．
經討論只能有 sinC=0，cosC=-1，a=b=

1

2

，所以，

b

a

cosC=-1．

點評：本題主要考查復合三角函數的單調性，兩個向量的數量積的運算，函數的恒成立問題，屬于中檔題．