Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；

（Ⅱ）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若對(duì)（Ⅱ）中所求的取值范圍內(nèi)的任意函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）無極值；（Ⅱ）；(III) .

【解析】

(I)當(dāng)時(shí),,在內(nèi)是增函數(shù)，無極值；(II)令，得,可判斷函數(shù)在處取得極小值，解不等式即可得結(jié)果；(III)由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù),則須滿足不等式組或,進(jìn)而可得結(jié)果.

(I)當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)是增函數(shù)，

故無極值.

(II),令，得,

由 及（I）可知無極值，

所以只需考慮的情況，

當(dāng)變化時(shí)，的符號(hào)及的變化情況如下表:

		0
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因此，函數(shù)在處取得極小值且，

要使，必有，

可得，.

(III)由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù),

由題設(shè)，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，則須滿足不等式組,

或,

由(II)，參數(shù)時(shí)， ，

要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，

綜上，解得或，

的取值范圍是.