Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足？若不存在，請說明理由；若存在，求出的長度.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）在線段上存在點滿足題意，．

【解析】

（1）如圖所示的等腰梯形中，經過點，分別作，，垂足為．利用矩形的性質可求出，在中，利用余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，再利用面面垂直的性質定理即可證明平面；

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系．設，設平面的法向量，可得，取平面的法向量，利用，，即可求出．

（1）如圖所示的等腰梯形中，經過點，分別作，，垂足為，則為矩形，．在中，，則，

同理可得，．

在中，，

，，．

又∵四邊形為矩形，平面平面，

平面平面，∴平面．

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系．

，，，設，

，

設平面的法向量，

則，∴

取．

取平面的法向量．

由，

由題意可得：，．

解得．

因此在線段上點，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足，．