Question

已知數列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求證： 數列 ｛＋ ｝是等比數列，并求數列{a_n}的通項a_n
(2)若數列{b_n}滿足b_n＝(3ⁿ－1)a_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

(1) a_n＝ ;(2) －1＜λ＜2.

解析試題分析：(1)將已知a_n＋1＝取倒數可得: ＋1進而利用待定系數法將此式轉化為: ＋＝3從而可證數列 ｛＋ ｝是等比數列,然后應用等比數的通項公式可求得數列{a_n}的通項a_n; (2)由(1)及已知可得b_n＝(3ⁿ－1)·＝n· ^n－1,此數列是由一個等差數列{n}與一個等比數列{ ^n－1}對應項的積構成的一個數列，此數列的前n項和應用乘公比錯位相減法就可求得其前n項和T_n；然后研究數列{T_n}的單調性可知：{T_n}為遞增數列，最后通過討論n的奇偶性及不等式恒成立的知識就可求得λ的取值范圍.注意不等式:對一切n∈N^*恒成立等價于,同理:不等式:對一切n∈N^*恒成立等價于.
試題解析：(1)由題知，＋1，  .        .1分
∴＋＝3，                    2分
∴數列 ｛＋ ｝是以3為公比以=為首項的等比數列。
∴＋＝·3^n－1＝，∴a_n＝         5分
(2)由(1)知，b_n＝(3ⁿ－1)·＝n· ^n－1，
T_n＝1×1＋2× ¹＋3× ²＋…＋n· ^n－1，            6分
 T_n＝1×＋2× ²＋…＋(n－1)  ^n－1＋n ⁿ，
兩式相減得，
 T_n＝1＋＋＝2－，
∴T_n＝4－                           10分
∵T_n＋1－T_n＝＞0，
∴{T_n}為遞增數列                         .12分
①當n為正奇數時，－λ＜T_n對一切正奇數成立，
∵(T_n)_min＝T₁＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；
②當n為正偶數時，λ＜T_n對一切正偶數成立，
∵(T_n)_min＝T₂＝2，∴λ＜2.
綜合①②知，－1＜λ＜2                       .14分
考點：1.等比數列;2.數列的前n項和；3不等式的恒成立.