Question

已知△AOB的一個頂點為拋物線y²=2x的頂點O,A、B兩點都在拋物線上,且∠AOB=90°.
(1)證明直線AB必過一定點;
(2)求△AOB面積的最小值.

Answer 1

1、證明見解析2、當m=0時,S_△AOB的最小值為4.

(1)設直線OA的方程為y=kx,則直線OB的方程為y=-x,
由解得A()(k≠0).
同理由可得B(2k²,-2k),
∴直線AB的方程為y+2k=(x-2k²),化簡得x-(-k)y-2=0.
顯然過定點P(2,0).
(2)設直線AB方程為x=my+2,代入y²=2x,
得y²-2my-4=0,∴y₁+y₂=2m,y₁·y₂=-4,∴|y₁-y₂|=.
∴S_△AOB=·|OP|·|y₁-y₂|=×2×.
顯然,當m=0時,S_△AOB的最小值為4.