Question

【題目】（1）已知,,,用反證法證明： 中至少有一個不小于;

（2）用數學歸納法證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）應用反證法證明數學命題的一般步驟包括反設、歸、結論.首先假設要證明的結論"中至少有一個不小于"不成立,即均小于.由反設出發,推出正確的推理導出矛盾,從而肯定了原結論成立,即可得證.

（2）利用數學歸納法來證明,當時,命題成立,再假設當時,成立,證明當時,命題也成立

解:（1）假設均小于,即,,,則有,

而,與假設矛盾,

假設不成立,故中至少有一個不小于1．

（2）用數學歸納法證明如下：

①當時,左邊,右邊,所以當時,原等式成立．

②假設時原等式成立即,

則當時,

,

所以當時,原等式也成立．

由①②知,（2）中的猜想對任何都成立．