Question

如圖所示，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁，以A，B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，建立適當的坐標系，求曲線段C的方程．

Answer 1

解：如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點， 依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋物線的一段， 其中A，B分別為C的端點， 設曲線段C的方程為y2=2px(p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)， 其中xA，xB分別為A，B的橫坐標，p=|MN|， 所以， 由得，① ， ② 由①②兩式聯立解得， 再將其代入①式并由p＞0，解得或， 因為△AMN是銳角三角形，所以，故舍去， 所以p=4，xA=1， 由點B在曲線段C上，得， 綜上得曲線段C的方程為(1≤x≤4，y＞0)。