Question

如圖所示，已知直線l：3x+4y-12=0與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，直線l₁和AB，OA分別交于C，D，且平分△AOB的面積，求CD的最小值．

Answer 1

分析：先設設AD=m，AC=n，由三角形的面積得到mn的值，再表示出|CD|的表達式結合基本不等式的內容可求得線段CD長度的最小值．

解答：解：令y=0，x=4．
∴A（4，0），令x=0，y=3，
∴B（0，3）S△AOB=

1

2

•4•3=6，∴S△ACD=

1

2

S△AOB=3．
設AD=m，AC=n，則sinA=

OB

AB

=

3

5

．S△ACD=

1

2

mnsinA=3，∴

1

2

mn

3

5

=3，∴mn=10.CD2=m2+n2-2mncosA=m2+n2-2×10×

4

5

=m²+n²-16≥2mn-16=4．
∴CD≥2，當m=n=

10

時，CD有最小值為2．

點評：本題主要考查三角函數中余弦值的求法和余弦定理的應用、基本不等式的應用．考查基礎知識的綜合應用和靈活應用．三角函數題以基礎為主，要強化其基礎題得復習．