Question

如圖所示，已知直線l：3x+4y-12=0與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，直線l₁和線段AB，OA分別交于C，D且平分△AOB的面積．
（1）求△AOB的面積；
（2）求CD的最小值．

Answer 1

分析：（1）令直線l：3x+4y-12=0中y=0，求出x的值，即為A的橫坐標，確定出A的坐標，令直線l解析式中x=0，求出y的值，即為B的縱坐標，確定出B的坐標，進而求出OA及OB的長，由三角形AOB為直角三角形，利用兩直角邊OA與OB乘積的一半即可求出三角形AOB的面積；
（2）設AD=m，AC=n，在直角三角形AOB中，由AO及OB的長，利用勾股定理求出AB的長，再利用銳角三角形函數定義求出sinA及cosA的值，由AD，AC及sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ACD的面積，根據直線CD平分三角形AOB的面積，由第一問求出的三角形AOB的面積求出三角形AOD的面積，整理后求出mn的值，在利用余弦定理表示出CD²=m²+n²-2mncosA，將mn及cosA的值代入，并利用基本不等式變形，再將mn的值代入，即可求出CD的最小值，以及此時m與n的值．

解答：解：（1）令y=0，求出x=4，∴A（4，0），
令x=0，求出y=3，∴B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
則S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×4×3=6；
（2）設AD=m，AC=n，
在Rt△AOB中，OA=4，0B=3，
根據勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=5，
∴sinA=

OB

AB

=

3

5

，又直線CD平分△AOB的面積，
∴S_△ACD=

1

2

mnsinA=

1

2

×6=3，∴mn=10，
在△AOB中，cosA=

OA

AB

=

4

5

，
由余弦定理得：CD²=m²+n²-2mncosA=m²+n²-2×10×

4

5

=m²+n²-16≥2mn-16=4，
∴CD≥2，當且僅當m=n=

10

時取等號，
則CD的最小值為2．

點評：此題考查了三角形的面積公式，余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．